Calcular una aproximación de $\pi$

Un resultado conocido de teoría de los números pone de manifiesto que la probabilidad que dos números tomados aleatoriamente sean primos entre ellos es de $\frac{6}{\pi^{2}}\simeq0,6079$ . Para intentar encontrar este resultado, vamos a:

• Tomar dos números al azar entre 0 y 1 000 000.
• Calcular su m.c.d.
• Si su m.c.d. vale 1, anadir 1 a una variable contador.
• Repetir 1000 veces
• la frecuencia de los pares de números primos entre ellos se obtendrá dividiendo la variable contador por 1000 (el número de pruebas)

   para prueba
          # Inicializamos la variable contador a 0
      haz "contador 0
      repite 1000 [
         si (mcd azar 1000000 azar 1000000) = 1
           [haz "contador :contador+1]
        ]
      escribe [Frecuencia:]
      escribe :contador/1000
   fin

Nota: Igual que antes, nos vemos obligados a poner paréntesis en

mcd azar 1000000 azar 1000000

si no, el interprete va a intentar evaluar $1 000 000=1$ . Para evitar este problema de paréntesis, escribe: si 1 = mcd azar 1000000 azar 1000000

   prueba
   0.609
   prueba
   0.626
   prueba
   0.597

Se obtienen valores próximos al valor teórico de $0.6097$ . Lo que es notable es que esta frecuencia es un valor aproximado de $$\frac{6}{\pi^2} \simeq 0,6079$$ . Si tenemos en cuenta $f$ , la frecuencia encontrada, se tiene pues: $f\simeq\frac{6}{\pi^{2}}$ . Despejando:

$$\pi^2 \simeq \frac{6}{f} \quad \textrm{y as\'i:} \quad \pi \simeq \sqrt{\frac{6}{f}}$$

Añadimos esta aproximación al programa, y transformamos el final del procedimiento prueba:

   para prueba
          # Inicializamos la variable contador a 0
      haz "contador 0
      repite 1000 [
         si (mcd azar 1000000 azar 1000000) = 1
           [haz "contador :contador+1]
        ]
          # Tras calcular la frecuencia
      haz "f :contador/1000
          #Mostramos el valor aproximado de pi
      escribe frase [Aproximacion de pi:] raizcuadrada (6/:f) fin
   fin

que proporciona:

prueba
Aproximacion de pi: 3.164916190172819
prueba
Aproximacion de pi: 3.1675613357997525
prueba
Aproximacion de pi: 3.1008683647302115

Bien, modifiquemos el programa de modo que cuando lo lancemos, podamos indicar el número de pruebas deseadas.

   para prueba :repeticiones
          # Inicializamos la variable contador a 0
      haz "contador 0
      repite :repeticiones  [
         si (mcd azar 1000000 azar 1000000) = 1
           [haz "contador :contador+1]
        ]
          # Tras calcular la frecuencia
      haz "f :contador/:repeticiones
          #Mostramos el valor aproximado de pi
      escribe frase [Aproximacion de pi:] raizcuadrada (6/:f)
   fin

Probamos con 10000 repeticiones, y obtenemos en las tres primeras tentativas:

prueba 10000
Aproximacion de pi: 3.1300987144363774
prueba 10000
Aproximacion de pi: 3.1517891481565017
prueba 10000
Aproximacion de pi: 3.1416626832299914

No está mal, ¿verdad?